Arithmétique et décomposition en facteurs premiers : cours en 3ème.

Mise à jour le 4 février 2020

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sommaire

1 I.La division euclidienne :
2 II.Les nombres premiers :

Un cours de maths en troisième (3ème) sur l’arithmétique avec la définition et la propriété de la division euclidienne ainsi que la définition d’un nombre premier et le théorème de décomposition en facteurs premiers de n’importe quel nombre entier.

I.La division euclidienne :

1.Division euclidienne :

Définition :

On considère deux nombres entiers relatifs positifs a et b avec b non nul et a>b.

Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver l’unique couple d’entiers positifs (q,r) tel que :

a=bq+r avec $0\leq\, r<b$ .

Si r=0, on dit que a est un multiple de b ou encore que b est un diviseur de a.

Exemple :

Prenons a=187 et b=13, on pose la division euclidienne pour obtenir q et r.

Donc 187=13×14+5 avec 5<13.

2.Multiples et diviseurs :

Exemple :

Prenons a= 135 et b = 15.

On a 135 = 15×9 + 0= 15×9.

Donc 135 est un multiple de 15 et 15 est un diviseur de 135.

Remarques :

Un nombre entier a un nombre fini de diviseurs, mais un nombre infini de multiples.
Un nombre entier supérieur à 1 admet toujours au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.

3.Critères de divisibilité :

Propriété :

On considère un entier positif non nul n.

n est divisible par 2 si il se termine par 0,2,4,6, ou 8.
n est divisible par 5 si il se termine par 0 ou 5.
n est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
n est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemple :

915 n’est pas divisible par 2 car il se termine par 5.
915 n’est pas divisible par 4 car 15 ne l’est pas.
915 est divisible par 3 car 9+1+5=15=5×3 et 15 est divisible par 3.

II.Les nombres premiers :

1.Définition :

Définition :

On considère un nombre entier positif non nul n.

L’entier n est un nombre premier si, et seulement si, il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.

Exemples :

La liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37.
91 n’est pas un nombre premier car 91=13×7 donc il possède 4 diviseurs.

2.Décomposition en facteurs premiers :

Propriété :

On considère un entier n positif et supérieur à 1.

L’entier n peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers.

Nous avons $n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times ...p_q^{a_q}$ , cette écriture, appelée décomposition en facteurs premiers de n, est unique, à l’ordre des facteurs près.

Exemples :

$504=8\times 63=8\times 9\times 7=2^3\times 3^2\times 7$

Propriété :

Pour décomposer un nombre entier en un produit de facteurs premiers, il faut décomposer progressivement cet entier à l’aide des nombres premiers en procédant dans l’ordre croissant.

Exemple :

On veut décomposer l’entier 3 626 en produit de facteurs premiers.

$3626=2\times 1813=2\times 7\times 259=2\times 7\times 7\times 37=2\times 7^2\times 37$

3. Les fractions irréductibles :

Définition :

soient a et b deux nombres entiers positifs tel que b soit non nul.

Une fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier.

La fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible si, et seulement si, le plus grand commun diviseur, noté pgcd(a,b), des nombres a et b vaut 1.

Remarque :

Une fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible lorsque le plus grand commun diviseur de a et b (noté pgcd(a,b)) vaut 1.

Exemple :

$\frac{168}{3626}=\frac{2^3\times 3\times 7}{2\times 7^2\times 37}=\frac{2\times 2\times 3}{7\times 37}=\frac{12}{259}$ où $\frac{12}{259}$ est une fraction irréductible car pgcd(12,259)=1.

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