Arithmétique et décomposition en facteurs premiers : cours de maths en 3ème.

Un cours de maths en troisième (3ème) sur l’arithmétique avec la définition et la propriété de la division euclidienne ainsi que la définition d’un nombre premier et le théorème de décomposition en facteurs premiers de n’importe quel nombre entier.

I.La division euclidienne :

1.Division euclidienne :

Définition :

On considère deux nombres entiers relatifs positifs a et b avec b non nul et a>b.

Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver l’unique couple d’entiers positifs (q,r) tel que :

a=bq+ravec 0\leq\, r<b.

Si r=0, on dit que a est un multiple de b ou encore que b est un diviseur de a.

Exemple :

Prenons a=187 et b=13, on pose la division euclidienne pour obtenir q et r.

Donc 187=13×14+5 avec 5<13.

2.Multiples et diviseurs :

Exemple :

Prenons a= 135 et b = 15.

On a 135 = 15×9 + 0= 15×9.

Donc 135 est un multiple de 15 et 15 est un diviseur de 135.

Remarques :

  • Un nombre entier a un nombre fini de diviseurs, mais un nombre infini de multiples.
  • Un nombre entier supérieur à 1 admet toujours au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.

3.Critères de divisibilité :

Propriété :

On considère un entier positif non nul n.

  • n est divisible par 2 si il se termine par 0,2,4,6, ou 8.
  • n est divisible par 5 si il se termine par 0 ou 5.
  • n est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
  • n est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemple :

  • 915 n’est pas divisible par 2 car il se termine par 5.
  • 915 n’est pas divisible par 4 car 15 ne l’est pas.
  • 915 est divisible par 3 car 9+1+5=15=5×3 et 15 est divisible par 3.

II.Les nombres premiers :

1.Définition :

Définition :

On considère un nombre entier positif non nul n.

L’entier n est un nombre premier si, et seulement si, il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.

 Exemples :

  • La liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37.
  • 91 n’est pas un nombre premier car 91=13×7 donc il possède 4 diviseurs.

2.Décomposition en facteurs premiers :

Propriété :

On considère un entier n positif et supérieur à 1.

L’entier n peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers.

Nous avons n=p_1^{a_1}\times   p_2^{a_2}\times   ...p_q^{a_q}, cette écriture, appelée décomposition en facteurs premiers de n, est unique, à l’ordre des facteurs près.

Exemples :

504=8\times   63=8\times   9\times   7=2^3\times   3^2\times   7

Propriété :

Pour décomposer un nombre entier en un produit de facteurs premiers, il faut décomposer progressivement cet entier à l’aide des nombres premiers en procédant dans l’ordre croissant.

Exemple :

On veut décomposer l’entier 3 626 en produit de facteurs premiers.

3626=2\times   1813=2\times   7\times   259=2\times   7\times   7\times   37=2\times   7^2\times   37

3. Les fractions irréductibles :

Définition :

soient a et b deux nombres entiers positifs tel que b soit non nul.

Une fraction \frac{a}{b} est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier.

La fraction \frac{a}{b} est irréductible si, et seulement si, le plus grand commun diviseur, noté pgcd(a,b), des nombres a et b vaut 1.

Remarque :

Une fraction \frac{a}{b} est irréductible lorsque le plus grand commun diviseur de a et b (noté pgcd(a,b)) vaut 1.

Exemple :

\frac{168}{3626}=\frac{2^3\times   3\times   7}{2\times   7^2\times   37}=\frac{2\times   2\times   3}{7\times   37}=\frac{12}{259} où \frac{12}{259} est une fraction irréductible car pgcd(12,259)=1.


Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF

Télécharger ou imprimer cette fiche «arithmétique et décomposition en facteurs premiers : cours de maths en 3ème.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.


Télécharger nos applications gratuites Maths Exercices.fr avec tous les cours,exercices corrigés Application Maths Exercices.fr sur Google Play Store. Application Maths Exercices.fr sur Apple Store.
.

Des cours et exercices corrigés en 3ème en vidéos


Les fiches de cours et exercices de maths les plus consultées sur Maths Exercices.fr Concours : gagnez une calculatrice Texas Instrument (TI)

Nouveau concours avec une calculatrice Texas Instrument à gagner.
Le tirage au sort sera effectué avec un logiciel de manière aléatoire chaque début de mois et les résultats seront annoncés sur notre page facebook.
Les gagnants seront tirés au sort parmi les bonnes réponses de nos abonnés de notre nouvelle chaîne Youtube.


concours texas instrument Je participe au concours afin de gagner la calculatrice.
D'autres fiches que vous devriez consulter

Inscription gratuite à Mathématiques Web. Maths Exercices c'est 1 694 534 fiches de cours et d'exercices téléchargées.
Rejoignez les 34 029 membres de Maths Exercices, inscription gratuite.

Maths Exercices

GRATUIT
VOIR