Calcul littéral et la simple distributivité : cours de maths en 5ème

Mise à jour le 22 janvier 2021

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sommaire

1 I.Expression littérale
2 II.Evaluer une expression littérale
3 III.Tester une égalité
4 IV.La simple distributivité

Ce cours de maths sur le calcul littéral en cinquième (5ème) fait intervenir les notions suivantes :

– définition du calcul littéral;

– simplification d’expressions littérales;

– définition de développer et factoriser puis réduire une expression littérale;

– propriété de la simple distributivité.

I.Expression littérale

Définition :

On appelle expression algébrique ou encore, expression littérale, toute expression mathématiques contenant des lettres.Ces lettres représentent des nombres.

Exemples :

L’aire d’un carré de côté c s’exprime avec l’expression littérale $A=c\times c=c^2$ .
Un rectangle de longueur L et de largeur l a un périmètre qui s’exprime avec l’expression littérale $P=2(L+l)=2\times L+2\times l$ .

Règle :

Nous ne noterons plus le signe $\times$ en calcul littéral :

entre deux lettres;
entre un nombre et une lettre;
avant l’ouverture d’une parenthèse;
après la fermeture d’une parenthèse.

Exemple :

Pour un rectangle de longueur L et de largeur l , son périmètre vaut $P=2(L+l)=2\times L+2\times l=2L+2l$ .
Un cercle de rayon R a pour périmètre $P=2\pi R$ et pour aire $A=\pi R^2$ .

Remarque :

On peut simplifier $1\times x$ en et $0\times y$ en .
L’expression $3\times (p+2)$ peut s’écrire .
Attention : on ne peut pas supprimer le signe x entre deux nombres $3\times 5\neq 35$ .

Définitions : puissances.

On considère un nombre positif a.

$a^2=a\times a$ , a^2 se lit « a au carré« .

$a^ 3=a\times a\times a$ , a^3 se lit « a au cube« .

Exemple :

Aire d’un carré de côté a est $A=a\times a=a^2$ .

Le volume d’un cube de côté a est $V=a\times a\times a=a^3$

II.Evaluer une expression littérale

Définition :

Pour calculer la valeur que prend une expression littérale, on substitue (remplace) la valeur de la lettre dans l’expression algébrique concernée.

Exemple :

Considérons l’expression littérale A=7x+1 .

Si x=3 alors $A=7x+1=7\times 3+1=21+1=22$
Si x = -2 alors $A=7x+1=7\times (-3)+1=-14+1=-13$

On dit que l’on substitue (remplace) la valeur de x.

On passe, ainsi, du calcul littéral au calcul numérique.

III.Tester une égalité

Propriété :

Pour tester une égalité, il faut :

substituer la lettre par sa valeur dans le premier membre de l’égalité (expression située à gauche du signe =);
substituer la lettre par sa valeur dans le second membre de l’égalité (expression située à gauche du signe =);
si les résultats sont égaux alors l’égalité est vraie;
si les résultats ne sont pas égaux alors l’égalité est fausse.

Exemple :

Considérons l’égalité

x = 7 vérifie-t-il cette égalité ?

$8x-9=8\times 7-9=56-9=47$ et .

$47\neq 26$ donc x = 7 ne vérifie pas cette égalité.

x = 7 vérifie-t-il cette égalité ?

$8x-9=8\times 4-9=32-9=23$ et .

Donc x = 4 vérifie cette égalité.

IV.La simple distributivité

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme somme de termes.

Exemple :

est une forme développée.

Définition :

Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Exemple :

sont des formes factorisées.

Définition :

Réduire une expression littérale, c’est regrouper tous les termes de même nature.

Exemples :

Réduire les expressions suivantes :

Propriété :

Soient k,a et b trois nombres relatifs :

Exemple :

En utilisant la simple distributivité, développer les expressions littérales suivantes :

$A=5(x+2)=5\times x+5\times 2=5x+10\\B=2(y-4)=2x-8\\C=5(2p-3)=5\times 2p-5\times 3=10p-15\\D=4(r-1)+4r+9=4r-4+4r+9=8r+5$

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