Calcul littéral et la simple distributivité : cours de maths en 5ème

Ce cours de maths sur le calcul littéral en cinquième (5ème) fait intervenir les notions suivantes :

– définition du calcul littéral;

– simplification d’expressions littérales;

– définition de développer et factoriser puis réduire une expression littérale;

– propriété de la simple distributivité.

I.Expression littérale

Définition :

On appelle expression algébrique ou encore, expression littérale, toute expression mathématiques contenant des lettres.Ces lettres représentent des nombres.

Exemples :

  • L’aire d’un carré de côté c s’exprime avec l’expression littérale A=c\times   c=c^2.
  • Un rectangle de longueur L et de largeur l a un périmètre qui s’exprime avec l’expression littérale P=2(L+l)=2\times   L+2\times   l.
Règle :

Nous ne noterons plus le signe \times  en calcul littéral :

  • entre deux lettres;
  • entre un nombre et une lettre;
  • avant l’ouverture d’une parenthèse;
  • après la fermeture d’une parenthèse.

Exemple :

  • Pour un rectangle de longueur L et de largeur l , son périmètre vaut  P=2(L+l)=2\times   L+2\times   l=2L+2l.
  • Un cercle de rayon R a pour périmètre P=2\pi R et pour aire A=\pi R^2.

Remarque :

  • On peut simplifier 1\times   x en x et 0\times   y en y.
  • L’expression 3\times   (p+2) peut s’écrire 3(p+2).
  • Attention : on ne peut pas supprimer le signe x entre deux nombres 3\times   5\neq 35.
Définitions  : puissances.

On considère un nombre positif a.

a^2=a\times   a , a^2  se lit « a au carré« .

a^ 3=a\times   a\times   a , a^3  se lit « a au cube« .

Exemple :

Aire d’un carré de côté a est A=a\times   a=a^2.

Le volume d’un cube de côté a est V=a\times   a\times   a=a^3

II.Evaluer une expression littérale

Définition :

Pour calculer la valeur que prend une expression littérale, on substitue (remplace) la valeur de la lettre dans l’expression algébrique concernée.

Exemple :

Considérons l’expression littérale A=7x+1.

  • Si x=3 alors A=7x+1=7\times   3+1=21+1=22
  • Si x = -2 alors A=7x+1=7\times   (-3)+1=-14+1=-13

On dit que l’on substitue (remplace) la valeur de x.

On passe, ainsi, du calcul littéral au calcul numérique.

III.Tester une égalité

Propriété :

Pour tester une égalité, il faut :

  • substituer la lettre par sa valeur dans le premier membre de l’égalité (expression située à gauche du signe =);
  • substituer la lettre par sa valeur dans le second membre de l’égalité (expression située à gauche du signe =);
  • si les résultats sont égaux alors l’égalité est vraie;
  • si les résultats ne sont pas égaux alors l’égalité est fausse.

Exemple :

Considérons l’égalité 8x-9=x+19

  • x = 7 vérifie-t-il cette égalité ?

8x-9=8\times   7-9=56-9=47   et   x+19=7+19=26.

47\neq 26 donc x = 7 ne vérifie pas cette égalité.

  • x = 7 vérifie-t-il cette égalité ?

8x-9=8\times   4-9=32-9=23  et  x+19=4+19=23.

Donc x = 4 vérifie  cette égalité.

IV.La simple distributivité

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme somme de termes.

Exemple :

A=7x+3-2x+2 est une forme développée.

Définition :

Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Exemple :

B=7(x+2),C=(x-1)(x+6),D=3(x-3)(2x+7) sont des formes factorisées.

Définition :

Réduire une expression littérale, c’est regrouper tous les termes de même nature.

Exemples :

Réduire les expressions suivantes :

A=7n-3+11n+8=18x+5

B=y^2+3y+1+5y^2+2y+7=6y^2+5y+8

Propriété :

Soient k,a et b trois nombres relatifs :

  • k(a+b)=ka+kb.
  • k(a-b)=ka-kb

Exemple :

En utilisant la simple distributivité, développer les expressions littérales suivantes :

A=5(x+2)=5\times   x+5\times   2=5x+10\\B=2(y-4)=2x-8\\C=5(2p-3)=5\times   2p-5\times   3=10p-15\\D=4(r-1)+4r+9=4r-4+4r+9=8r+5


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