Calcul littéral et double distributivité : cours en quatrième (4ème)

Mise à jour le 18 septembre 2020

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sommaire

1 I.Expression littérale
2 II.Evaluer une expression littérale
3 III.La simple distributivité
4 IV. La double distributivité

Un cours de maths en quatrième (4ème) sur le calcul littéral et la double distributivité.

Cette leçon sur le calcul littéral fait intervenir les notions suivantes :

– définition du calcul littéral et introduction de François Viette (1540-1603);

– définition de développer et factoriser une expression littérale;

– réduire une expression littérale;

– simple distributivité;

– double distributivité.

I.Expression littérale

Définition :

On appelle expression littérale (ou expression algébrique) toute expression contenant une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.

Exemples :

L’aire d’un carré de côté c s’exprime avec l’expression littérale $A=c\times c=c^2$ .
Un rectangle de longueur L et de largeur l a un périmètre qui s’exprime avec l’expression littérale $P=2(L+l)=2\times L+2\times l$ .

Règle de simplification :

Dans une expression littérale, nous ne noterons plus un signe x entre deux lettres, entre un nombre et une lettre, ou encore, précédé d’une parenthèse.

Exemple :

Pour un rectangle de longueur L et de largeur l , son périmètre vaut $P=2(L+l)=2\times L+2\times l=2L+2l$ .
Un cercle de rayon R a pour périmètre $P=2\pi R$ et pour aire $A=\pi R^2$ .

Remarque :

On peut simplifier $1\times x$ en et $0\times y$ en .
L’expression $3\times (p+2)$ peut s’écrire .
Attention : on ne peut pas supprimer le signe x entre deux nombres $3\times 5\neq 35$ .

Définition (puissances) :

On considère un nombre relatif a.

$a^2=a\times a$ et se lit a au carré.

$a^3=a\times a\times a$ et se lit a au cube.

Exemple :

Aire d’un carré de côté a est $A=a\times a=a^2$ .

Le volume d’un cube de côté a est $V=a\times a\times a=a^3$

II.Evaluer une expression littérale

Propriété :

Afin d’évaluer une expression littérale, on substitue (remplace) la lettre par sa valeur et nous calculons la valeur de l’expression numérique.

Exemple :

Considérons l’expression littérale A=7x+1 .

Si x=3 alors $A=7x+1=7\times 3+1=21+1=22$
Si x = -2 alors $A=7x+1=7\times (-3)+1=-14+1=-13$

On dit que l’on substitue (remplace) la valeur de x.

On passe, ainsi, du calcul littéral au calcul numérique.

III.La simple distributivité

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme somme de termes.

Exemple :

est une forme développée.

Définition :

Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Exemple :

sont des formes factorisées.

Définition :

Réduire une expression littérale, c’est regrouper tous les termes de même nature.

Exemples :

Réduire les expressions suivantes :

Propriété :

Soient k,a et b trois nombres relatifs :

Exemple :

En utilisant la simple distributivité, développer les expressions littérales suivantes :

$A=5(x+2)=5\times x+5\times 2=5x+10\\B=2(y-4)=2x-8\\C=5(2p-3)=5\times 2p-5\times 3=10p-15\\D=4(r-1)+4r+9=4r-4+4r+9=8r+5$

IV. La double distributivité

Propriété : la double distributivité.

On considère quatre nombres relatifs a,b,c et d.

Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes :

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