cours maths 4ème

Calcul littéral et double distributivité : cours en 4ème

Un cours de maths en quatrième (4ème) sur le calcul littéral et la double distributivité.

Cette leçon sur le calcul littéral fait intervenir les notions suivantes :

– définition du calcul littéral et introduction de François Viette (1540-1603);

– définition de développer et factoriser une expression littérale;

– réduire une expression littérale;

– simple distributivité;

– double distributivité.

I.Expression littérale

Définition :

On appelle expression littérale (ou expression algébrique) toute expression contenant une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.

Exemples :

  • L’aire d’un carré de côté c s’exprime avec l’expression littérale A=c\times c=c^2.
  • Un rectangle de longueur L et de largeur l a un périmètre qui s’exprime avec l’expression littérale P=2(L+l)=2\times L+2\times l.
Règle de simplification :

Dans une expression littérale, nous ne noterons plus un signe x entre deux lettres, entre un nombre et une lettre, ou encore, précédé d’une parenthèse.

Exemple :

  • Pour un rectangle de longueur L et de largeur l , son périmètre vaut  P=2(L+l)=2\times L+2\times l=2L+2l.
  • Un cercle de rayon R a pour périmètre P=2\pi R et pour aire A=\pi R^2.

Remarque :

  • On peut simplifier 1\times x en x et 0\times y en y.
  • L’expression 3\times (p+2) peut s’écrire 3(p+2).
  • Attention : on ne peut pas supprimer le signe x entre deux nombres 3\times 5\neq 35.
Définition (puissances) :

On considère un nombre relatif a.

a^2=a\times a et se lit a au carré.

a^3=a\times a\times a et se lit a au cube.

Exemple :

Aire d’un carré de côté a est A=a\times a=a^2.

Le volume d’un cube de côté a est V=a\times a\times a=a^3

II.Evaluer une expression littérale

Propriété :

Afin d’évaluer une expression littérale, on substitue (remplace) la lettre par sa valeur et nous calculons la valeur de l’expression numérique.

Exemple :

Considérons l’expression littérale A=7x+1.

  • Si x=3 alors A=7x+1=7\times 3+1=21+1=22
  • Si x = -2 alors A=7x+1=7\times (-3)+1=-14+1=-13

On dit que l’on substitue (remplace) la valeur de x.

On passe, ainsi, du calcul littéral au calcul numérique.

III.La simple distributivité

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme somme de termes.

Exemple :

A=7x+3-2x+2 est une forme développée.

Définition :

Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Exemple :

B=7(x+2),C=(x-1)(x+6),D=3(x-3)(2x+7) sont des formes factorisées.

Définition :

Réduire une expression littérale, c’est regrouper tous les termes de même nature.

Exemples :

Réduire les expressions suivantes :

A=7n-3+11n+8=18x+5

B=y^2+3y+1+5y^2+2y+7=6y^2+5y+8

Propriété :

Soient k,a et b trois nombres relatifs :

  • k(a+b)=ka+kb.
  • k(a-b)=ka-kb

Exemple :

En utilisant la simple distributivité, développer les expressions littérales suivantes :

A=5(x+2)=5\times x+5\times 2=5x+10\\B=2(y-4)=2x-8\\C=5(2p-3)=5\times 2p-5\times 3=10p-15\\D=4(r-1)+4r+9=4r-4+4r+9=8r+5

IV. La double distributivité

Propriété : la double distributivité.

On considère quatre nombres relatifs a,b,c et d.

double distributivité

Exemples :

Développer et réduire les expressions suivantes :

A=(x-1)(x-3)=x^2-3x-x+3=x^2-4x+3

B=(2x-1)(3x-5)=6x^2-10x-3x+5=6x^2-13x+5


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