Calcul littéral et identités remarquables : cours de maths en 3ème

Un cours sur le calcul littéral et les trois identités remarquables avec la définition du développement d’une expression littérale et la factorisation.

I. Expression littérale et vocabulaire :

Définition :

Une expression littérale est une expression contenant des lettres.

Exemple : 2x²+5x+7

Remarque :

le calcul numérique est un cas particuliers du calcul littéral. Par conséquent, le calcul littéral est un outil très puissant nous permettant de traiter des généralisations de situations.

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme une somme de termes.

Propriété de la simple distributivité :

Soient k,a et b trois nombres relatifs.k(a+b)=ka+kb\\k(a-b)=ka-kb

Propriété de la double distributivité :

Soient a,b,c et d quatre nombres relatifs.(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Exemples :

Nous avons vu dans les niveaux précédents, deux propriétés qui permettent de développer une expression littérale : la simple et la double distributivité.

A=(x-3)(x+7)=x^2+7x-3x-21

B=-3(x-2)+7(x-4)=-3x+6+7x-28

Définition :

Réduire une expression littérale, c’est regrouper tous les termes de même nature.

Exemples :

A=(x-3)(x+7)=x^2+7x-3x-21=x^2+4x-21

B=-3(x-2)+7(x-4)=-3x+6+7x-28=4x-22

Définition de la factorisation :

Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Remarque :

La factorisation est le « processus » inverse du développement.

Exemples :

A=7x-21=7x-7\times   3=7(x-3)

B=(x+2)(2x-3)+(x+2)(2x-4)=(x+2)[(2x-3)+(2x-4)]=(x+2)(4x-7)

II. Les identités remarquables

1.Carré d’une somme

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Preuve :

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+a^2=a^2+2ab+b^2

2.Carré d’une différence

Propriété :

soient a et b deux nombres relatifs.(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Preuve :

(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+a^2=a^2-2ab+b^2

3.Produit d’une somme et d’une différence de deux nombres

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2

Exemples :

A=(x+1)^2=x^2+2\times   x\times   1=x^2+2x+1\\B=(x-3)^2=x^2-2\times   x\times   3+3^2=x^2-6x+9\\C=(x-5)(x+5)=x^2-5^2=x^2-25\\D=99\times   101=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1=9999\\E=(2x-7)^2=(2x)^2-2\times   2x\times   7+7^2=4x^2-28x+49


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