Dérivée : exercices de maths en PDF en 1ère S

Des exercices de mathématiques sur la dérivée d’une fonction numérique en première S ont été rédigés par un enseignant de l’éducation nationale.

Vous retrouverez dans ces exercices  sur la dérivée, les notions suivantes :

– limite du taux d’accroissement;

– dérivée et nombre dérivée en un point;

– dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient;

– dérivée d’une fonction usuelle;

– tangente à une courbe et nombre dérivée.

Exercice 1 :

Déterminer sur quel ensemble est dérivable chacune des fonctions suivantes, puis déterminer sa dérivée.

a)f: x \mapsto   5x^2- 3x+ 2 définie sur \mathbb{R}.

b)g:x \mapsto   100+\frac{1}{x}  définie sur \mathbb{R}^*.
c)h:x \mapsto   x\sqrt{x} définie sur [0;+\infty[.

d)j:x \mapsto   \frac{12-5x}{9x+2} définie sur \mathbb{R} - \{-\frac{2}{9} \}.

Exercice 2 :

Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par  g:x\mapsto   (-9x+ 1)^5.

Déterminer sur quel ensemble elle est dérivable puis déterminer sa dérivée.
Exercice 3 :

La fonction f est représentée par la courbe rouge ci-dessous.

Quel est le taux de variation de f entre 2 et 5 ?

Exercice 4 :

Sur le graphique ci-dessous la tangente en A(-2; 1) à la courbe

représentative d’une fonction f définie sur [-4 ; 9] passe par le point B(1 ; 6).
Déterminer f ‘ (-2).

Exercice 5 :

Soit f la fonction définie sur [0;+\infty[ par f:x \mapsto   \sqrt{x}-3
et h un nombre réel non nul.
1. Montrer, à l’aide de l’identité remarquable
(a – b)(a + b) = a² – b², que le taux de variation de f entre 9 et 9 + h est égal à
\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}.

2. En déduire que la fonction est dérivable en 9 et déterminer f ‘ (9).
Exercice 6 :

La courbe d’une fonction g définie sur [-3 ; 5] est représentée ci-dessous.

La tangente à cette courbe au point A d’abscisse 3 passe par le point de coordonnées (-3 ; 6).
Que vaut g(3) ? Que vaut g ‘ (3) ?

Exercice 7 :

Chacune des fonctions suivantes est de la forme d’une somme de deux fonctions u + v.

Dans chaque cas, identifier les fonctions u et v, et donner leurs ensembles de dérivabilité.

En déduire sur quel ensemble la fonction « somme » est dérivable,

puis déterminer l’expression de sa fonction dérivée.

f:x \mapsto   \frac{1}{x}+x              g:x \mapsto   -5+\frac{1}{x^2}            h:x \mapsto   x^4+x^2

Exercice 8 :

Utiliser GeoGebra pour répondre aux questions suivantes

portant sur la fonction f:x \mapsto   \frac{-9}{2x^2-4x+3}.

1. Saisir l’équation de la courbe représentative de f:
«y=-9/(22-4x+ 3)».

2. Placer un point sur la courbe.

3. Tracer la tangente à la courbe en ce point.

4. Afficher le coefficient directeur de la tangente.

5. En sélectionnant le point et en le plaçant à la bonne abscisse,

déterminer une valeur approchée de f ‘ (-2) ; f ‘ (-1); f ‘(0) ; f ‘ (1) et f ‘(2).

Exercice 9 :

Soit g une fonction dérivable sur R. On a le tableau de valeurs suivant.

1. Dans un repère orthonormé placer les points de coordonnées (x; g(x)).

2. Construire en chacun de ces points les tangentes à la courbe C_g  représentative de la fonction g.

3. Représenter une allure possible de C_g.
Exercice 10 :

On a représenté la courbe C d’une fonction f en rouge et la courbe C' de sa fonction dérivée f ‘ en bleue.
Déterminer une valeur approchée du coefficient directeur de la tangente à 6 au point A d’abscisse 2.

Exercice 11 :

Déterminer pour chacune des fonctions suivantes, l’ensemble I sur lequel elle est dérivable,

puis sa fonction dérivée sur I.

a)f(x)=\frac{5}{2x}+\frac{3}{4}-\frac{7x^2}{4}        b)g(x)=\frac{-4}{5x}(x-11)

c)h(x)=\frac{5x^2-8x+1}{21-7x}          d)j(x)=\frac{-5}{3x^2+2}

e)k(x)=\frac{9x}{x^2-6x+5}            f)m(x)=\sqrt{10-x}


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