Equations du premier degré et problèmes : cours en 3ème.

Un cours sur la résolution d’équations du premier degré à une inconnue et l’étude de problèmes menant à une équation. Nous verrons les différentes propriétés de résolution d’une équation.

I.Equation du premier degré à une inconnue

Propriété :

On ne modifie une égalité si on ajoute (ou retranche) un même nombre à chaque membre de l’équation.

On ne modifie une égalité si on multiplie (ou divise) chaque membre de l’équation par un même nombre non nul.

Exemple :

Résoudre l’équation 7x+2=4x+9.

7x+2-4x=4x+9-4x

3x+2=9

3x+2-2=9-2

3x=7

x=\frac{7}{3}

La solution de cette équation est x=\frac{7}{3}.

II.Les équations produit

Propriété :

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un des facteurs, au moins, est nul.

A\times   B=0 équivaut à A = 0 ou B = 0.

Exemples :

Résoudre les équations suivantes  :

1.(x-3)(2x+6)=0

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

Par conséquent :

x-3=0\\x=3                 ou                 2x+6=0\\2x=-6\\x=-\frac{6}{2}=-3

Les deux solutions de cette équation sont x=3 et x= – 3.

2.(x+1)(2x-7)+(x+1)(3x+2)=0\\(x+1)[(2x-7) +(3x+2)]=0\\(x+1)(5x-5)=0

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

Par conséquent :

x+1=0\\x=-1        ou             5x-5=0\\5x=5\\x=1

Les deux solutions de cette équations sont x = -1 et x = 1.

III.Résolution de problèmes

Exercice n° 1 :

Trouver 3 nombres entiers consécutifs dont la somme est égale à 984.

On posera comme inconnue le plus petit nombre.

On note x le plus petit nombre alors :

x +x+1+x+2=984\\3x+3=984\\3x=984-3\\3x=981\\x=\frac{981}{3}\\x=327

Les trois nombres recherchés sont 327,328 et 329.

Exercice n° 2 :

Un club de sport propose la formule suivante : une carte d’adhérent de 12 € puis

l’utilisation de la salle de gymnastique facturée 4,50 € l’heure.

Désignons par x le nombre d’heure d’utilisation de la salle de gymnastique.

Déterminer le prix à payer en fonction du nombre d’heure d’utilisation.

Au bout de combien d’heure d’utilisation le prix à payer est de 79,50 € ?

Nous avons :

12+4,5x=79,5\\4,5x=79,5-12\\4,5x=67,5\\x=\frac{67,5}{4,5}\\x=15

Au bout de la quinzième heure, le prix a payer sera de 79,50 euros.

Exercice n° 3 :

Le réservoir d’une voiture est plein au un tiers. On rajoute 42 litres pour le remplir.

Quelle est sa contenance ?

On choisira comme inconnue la contenance totale du réservoir.

Soit x la contenance en litre de ce réservoir.

\frac{1}{3}x+42=x\\\frac{1}{3}x-x=-42\\-\frac{2}{3}x=-42\\\frac{2}{3}x=42\\x=\frac{42\times   3}{2}=63\,L

Ce réservoir a une contenance de 63 litres.


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