Nombre complexes : exercices de maths en terminale S en PDF

Des exercices de maths sur les nombres complexes en terminale S.

Cette fiche fait intervenir les notions de formes algébriques, exponentielles et trigonométriques.

Exercice n° 1 :

Donner la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes suivants :

z_1=1+2i\\z_2=3+i\\z_3=3\\z_4=6i\\z_5=\frac{-i}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\\z_6=\frac{1}{3}(5+2i)

Exercice n° 2 :

On considère les deux nombres complexes suivants :

z_1=e^{i\frac{\pi}{3}}\,;\, z_2=e^{-i\frac{\pi}{4}}

1. Ecrire z_1 et z_2 sous forme algébrique.

2. Déterminer les écritures sous formes algébrique, exponentielle et trigonométrique de z_1z_2.

3. En déduire la valeur exacte du cosinus et sinus suivants :

cos(\frac{\pi}{12})       et          sin(\frac{\pi}{12})  .

Exercice n° 3 :

Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants :

z_1=(1+i)+(-8+4i)\\z_2=(3+i)(5-2i)\\z_3=5i-(3+2i)\\z_4=2(5-i)+3(i-4)\\z_5=(i+2)^2-(3-5i)\\z_6= ( \frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3}}{2} )^2\\z_7=\frac{5+i}{3+2i}

Exercice n° 4 :

Dans le plan complexe, les points A,B et C ont pour affixe respectif z_A=3+2i;z_B=-5+2i;z_C=-3i

1.Placer les points A, B et C.

2. Déterminer les affixes des points A’ et B’ milieux respectifs des segments [BC] et [AC].

3. déterminer l’affixe du point G défini par \vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AA'}

Exercice n° 5 :

Dans le plan complexe A,B,C et D sont les points d’affixes :

z_A=5+5i;z_B=3+2i;z_C=9-2i;z_D=11+i.

  1. Déterminer les affixes des vecteurs \vec{AD} et \vec{BC}.
  2. Déterminer un argument de \frac{z_B-z_A}{z_D-z_A}.
  3. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Exercice n° 6 :

1.a. Résoudre dans \mathbb{C} l’équation z^2-2\sqrt{3}z+4=0

b. Donner une forme exponentielle de chacun des solutions.

2. A et M sont les points d’affixes respectives a=\sqrt{3}+i;m=\sqrt{3}-i.

a. Placer les points A et M en indiquant une méthode de construction.

b. On appelle B et C les points d’affixes respectives b=ia et c=ib.

Calculer b et c sous forme algébrique, puis placer B et C.

c. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.

d. Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un carré. Placer ce point D sur la figure.

Exercice n° 7 :

1)Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes :

2+4i;2i;-1-3i;-4;2+\sqrt{3};-\sqrt{5}i

2)Parmi ces complexes, lesquels sont des réels ?

Lesquels sont imaginaires purs?

Exercice n° 8 :

Ecrire les nombres complexes sous forme algébrique.

z_1=2i+6-7i

z_2=3-(1+2i)

z_3=-5(3-i)

z_4=-4(1+2i)

z_5=1+i^2

z_6=i(3+2i)

z_7=3(5-i)+i(-1+5i)

z_8=i^3

z_9=i^4

z_{10}=(1+i)(1-i)

z_{11}=\frac{4+6i}{2}

z_{12}=\frac{2-3i}{5}

z_{13}=\frac{10+5i}{1-4i^2}

Exercice n° 9 :

Déterminer le complexe conjugué de chacun des nombres complexes suivants :

z_1=5+2i

z_2=-4

z_3=7i

z_4=-2-8i

z_5=3i-11

z_6=\frac{4-6i}{2}

Exercice n° 10 :

Résoudre dans \mathbb{C} les équations proposées.

On donnera les solutions sous forme algébrique.

1)z-2+4i=0

2)5z+2i=4z-5+i

3)iz+1-i=0

4)-2z+3=iz+1-i

5)(2z-4+i)(z+3i)=0

6)(2z-4)(iz+2)=0

7)z^2=-16

8)z^2=-81

Exercice n° 11 :

Associer chaque complexe au point image qui lui correspond.

z_1=2+2i

z_2=-2-2i

z_3=2

z_4=2i

z_5=-2

z_6=-2+2i

Exercice n° 12 :

Associer chaque vecteur à l’affixe qui lui correspond.

z_1=2+2i

z_2=-2+2i

z_3=3i

z_4=3-i

z_5=-2

z_6=1-i

Exercice n° 13 :

1)Déterminer graphiquement les distances OA, OB, OC, OD, OE et OF.

2)En déduire le module de l’affixe de chacun des points A, B, C, D, E et F.

Exercice n° 14 :

Parmi les écritures proposées ci-dessous, dire lesquelles sont des formes trigonométriques

d’un nombre complexe.

z_1=\sqrt{3}(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})

z_2=-3(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})

z_3=2(cos(\frac{5\pi}{6})+isin(-\frac{5\pi}{6}))

z_4=5(cos0+isin0)

Exercice n° 15 :

Soit le nombre complexe z_1 de module 2 et d’argument \frac{2\pi}{3} et le nombre complexe z_2

de module 4 et d’argument -\frac{\pi}{6}.

1)Déterminer | z_1z_2 |, | \frac{z_1 }{z_2} | et | z_1^5 |.

2)Déterminer arg(z_1z_2), arg(\frac{z_1}{z_2})  et arg(z_1^5).

Exercice n° 16 :

Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes :

z_1=e^{i\pi} ; z_2=e^{-i\frac{\pi}{2}} ; z_3=e^{i\frac{2\pi}{3}} ; z_4=e^{-i\frac{5\pi}{6}}.


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