Les fonctions linéaires et les pourcentages : cours en 3ème.

Mise à jour le 8 décembre 2020

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sommaire

1 I.Les fonctions linéaires :
2 II.Fonctions linéaires et pourcentages
- 2.1 1.Pourcentages d’augmentation et de diminution
- 2.2 2.Application des pourcentages aux fonctions linéaires

Un cours sur les fonctions linéaires avec la définition, le vocabulaire et ses propriétés ainsi que l’étude des pourcentages.

I.Les fonctions linéaires :

1.Définition et vocabulaire

Définition :

Soit « a » un nombre fixé.En associant à chaque nombre « x » un nombre « ax » appelé « image de x », on définit une fonction linéaire de coefficient a.

On notera cette fonction ainsi : $f:x \mapsto ax$

L’image de x sera notée : f(x).

x est appelé l’antécédent de f(x)

Exemple :

Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2.

On la note : $f:x \mapsto 2x$

alors :

L’image de 5 est : f(5) = 2 x 5 = 10.
L’image de (-3) est : f(-3) = 2 x (-3) = -6.
L’image de 1 est : f(1) = 2 x 1 = 2.

Remarque :

On peut regrouper ces résultats dans un tableau :

x	5	-3	1
f(x)	10	-6	2

C’est un tableau de proportionnalité. Et le coefficient de proportionnalité qui permet d’exprimer f(x) en fonction de x est 2 ! D’où l’égalité : f(x) = 2 x.

2.Représentation graphique :

Propriété et vocabulaire :

Soit f la fonction linéaire définie par : $f : x \mapsto ax$ L’ensemble des points de coordonnées (x ; ax) est appelé représentation graphique de la fonction linéaire.

Dans un repère, cette représentation est la droite passant par :

– L’origine du repère.

– Le point de coordonnées (1 ; a)

On dit que cette droite a pour équation : y = ax.

« a » est le coefficient directeur de la droite. Il indique « l’inclinaison » de la droite.

3.Sens de variation d’une fonction linéaire :

Propriété :

Si a>0 alors la fonction linéaire est croissante;
Si a<0 alors la fonction linéaire est décroissante.

Remarque :

Si a = 0, la représentation la droite se confond avec l’axe des abscisses.

II.Fonctions linéaires et pourcentages

1.Pourcentages d’augmentation et de diminution

Propriété :

Augmenter un nombre de t % revient à multiplier ce nombre par $k=1+\frac{t}{100}$ .
Diminuer un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par $k=1-\frac{t}{100}$ .

Exemples :
Si une boite de 400 g est vendue avec 25% de produit en plus, sa nouvelle masse (en g) est :

$m = 400 \times ( 1+\frac{4}{100} ) = 400\times 1,25 =500$ , c’est à dire m = 500 g.

En France, une baisse de 4% a été enregistrée sur un effectif annuel de 750 000 naissances.
Le nouvel effectif est :

$N = 750 000 \times ( 1-\frac{4}{100} ) = 750 000\times 0,96=720\,000$ c’est à dire N = 720 000.

2.Application des pourcentages aux fonctions linéaires

	Prendre 5% de x.	Augmenter x de 5%.	Diminuer x de 5%.
Calcul à effectuer	Multiplier par 0,05	Multiplier par 1,05	Multiplier par 0,95
Fonction linéaire	f : x 0,05 x	g : x 1,05 x	h : x 0,95 x
Exemple :	Prendre 5% de 20 : f(20) = 0,05 ´ 20 = 1	Augmenter 20 de 5% : g(20) = 1,05 ´ 20 = 21	Diminuer 20 de 5% : h(20) = 0,95 ´ 20 = 19

Propriété :

De manière générale, on peut associer une fonction linéaire à toute variation de k %.Notons la fonction f qui à la valeur x de départ associe la valeur f(x) après variation.

Pour une augmentation de k %, nous avons $f(x)= ( 1+\frac{k}{100} )x$ .
Pour une réduction de k %, nous avons $f(x)= ( 1-\frac{k}{100} )x$ .

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