sommaire
I.Les fonctions linéaires :
1.Définition et vocabulaire
Soit « a » un nombre fixé.En associant à chaque nombre « x » un nombre « ax » appelé « image de x », on définit une fonction linéaire de coefficient a.
On notera cette fonction ainsi :
L’image de x sera notée : f(x).
x est appelé l’antécédent de f(x)
Exemple :
Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2.
On la note :
alors :
- L’image de 5 est : f(5) = 2 x 5 = 10.
- L’image de (-3) est : f(-3) = 2 x (-3) = -6.
- L’image de 1 est : f(1) = 2 x 1 = 2.
Remarque :
On peut regrouper ces résultats dans un tableau :
x | 5 | -3 | 1 |
f(x) | 10 | -6 | 2 |
C’est un tableau de proportionnalité. Et le coefficient de proportionnalité qui permet d’exprimer f(x) en fonction de x est 2 ! D’où l’égalité : f(x) = 2 x.
2.Représentation graphique :
Soit f la fonction linéaire définie par : L’ensemble des points de coordonnées (x ; ax) est appelé représentation graphique de la fonction linéaire.
Dans un repère, cette représentation est la droite passant par :
– L’origine du repère.
– Le point de coordonnées (1 ; a)
On dit que cette droite a pour équation : y = ax.
« a » est le coefficient directeur de la droite. Il indique « l’inclinaison » de la droite.
3.Sens de variation d’une fonction linéaire :
- Si a>0 alors la fonction linéaire est croissante;
- Si a<0 alors la fonction linéaire est décroissante.
Remarque :
Si a = 0, la représentation la droite se confond avec l’axe des abscisses.
II.Fonctions linéaires et pourcentages
1.Pourcentages d’augmentation et de diminution
- Augmenter un nombre de t % revient à multiplier ce nombre par
.
- Diminuer un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par
.
Exemples :
Si une boite de 400 g est vendue avec 25% de produit en plus, sa nouvelle masse (en g) est :
, c’est à dire m = 500 g.
- En France, une baisse de 4% a été enregistrée sur un effectif annuel de 750 000 naissances.
Le nouvel effectif est :
c’est à dire N = 720 000.
2.Application des pourcentages aux fonctions linéaires
Prendre 5% de x. | Augmenter x de 5%. | Diminuer x de 5%. | |
Calcul à effectuer | Multiplier par 0,05 | Multiplier par 1,05 | Multiplier par 0,95 |
Fonction linéaire | f : x 0,05 x | g : x 1,05 x | h : x 0,95 x |
Exemple : | Prendre 5% de 20 :
f(20) = 0,05 ´ 20 = 1 |
Augmenter 20 de 5% :
g(20) = 1,05 ´ 20 = 21 |
Diminuer 20 de 5% :
h(20) = 0,95 ´ 20 = 19 |
De manière générale, on peut associer une fonction linéaire à toute variation de k %.Notons la fonction f qui à la valeur x de départ associe la valeur f(x) après variation.
- Pour une augmentation de k %, nous avons
.
- Pour une réduction de k %, nous avons
.
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