Les fonctions linéaires et les pourcentages : cours en 3ème.

Un cours sur les fonctions linéaires avec la définition, le vocabulaire et ses propriétés ainsi que l’étude des pourcentages.

I.Les fonctions linéaires :

1.Définition et vocabulaire

Définition :

Soit « a » un nombre fixé.En associant à chaque nombre « x » un nombre « ax » appelé « image de x », on définit une fonction linéaire de coefficient a.

On notera cette fonction ainsi :   f:x \mapsto   ax

L’image de x sera notée : f(x).

x est appelé l’antécédent de f(x)

Exemple :

Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2.

On la note :    f:x \mapsto   2x

alors :

  • L’image de 5 est : f(5) = 2 x 5 = 10.
  • L’image de (-3) est : f(-3) = 2 x (-3) = -6.
  • L’image de 1 est : f(1) = 2 x 1 = 2.

Remarque :

On peut regrouper ces résultats dans un tableau :

x 5 -3 1
f(x) 10 -6 2

C’est un tableau de proportionnalité. Et le coefficient de proportionnalité qui permet d’exprimer f(x) en fonction de x est  2 ! D’où l’égalité : f(x) = 2 x.

2.Représentation graphique :

Propriété et vocabulaire :

Soit f la fonction linéaire définie par :  f : x \mapsto   axL’ensemble des points de coordonnées (x ; ax) est appelé représentation graphique de la fonction linéaire.

Dans un repère, cette représentation est la droite passant par :

– L’origine du repère.

– Le point de coordonnées (1 ; a)

On dit que cette droite a pour équation : y = ax.

« a » est le coefficient directeur de la droite. Il indique « l’inclinaison » de la droite.

3.Sens de variation d’une fonction linéaire :

Propriété :
  • Si a>0 alors la fonction linéaire est croissante;
  • Si a<0 alors la fonction linéaire est décroissante.

Courbe d'une fonction linéaire

Remarque :

Si a = 0, la représentation la droite se confond avec l’axe des abscisses.

II.Fonctions linéaires et pourcentages

1.Pourcentages d’augmentation et de diminution

Propriété :
  • Augmenter un nombre de t % revient à multiplier ce nombre par k=1+\frac{t}{100}.
  • Diminuer un nombre de t% revient à multiplier ce nombre par k=1-\frac{t}{100}.

Exemples :
Si une boite de 400 g est vendue avec 25% de produit en plus, sa nouvelle masse (en g) est :

m = 400 \times    ( 1+\frac{4}{100}  ) = 400\times   1,25 =500, c’est à dire m = 500 g.

  • En France, une baisse de 4% a été enregistrée sur un effectif annuel de 750 000 naissances.
    Le nouvel effectif est :

N = 750 000 \times    ( 1-\frac{4}{100}  ) = 750 000\times   0,96=720\,000 c’est à dire N = 720 000.

2.Application des pourcentages aux fonctions linéaires

Prendre 5% de x. Augmenter x de 5%. Diminuer x de 5%.
Calcul à effectuer Multiplier par 0,05 Multiplier par 1,05 Multiplier par 0,95
Fonction linéaire f : x 0,05 x g : x 1,05 x h : x 0,95 x
Exemple : Prendre 5% de 20 :

f(20) = 0,05 ´ 20 = 1

Augmenter 20 de 5% :

g(20) = 1,05 ´ 20 = 21

Diminuer 20 de 5% :

h(20) = 0,95 ´ 20 = 19

Propriété :

De manière générale, on peut associer une fonction linéaire à toute variation de k %.Notons la fonction f qui à la valeur x de départ associe la valeur f(x) après variation.

  • Pour une augmentation de k %, nous avons  f(x)= ( 1+\frac{k}{100}  )x.
  • Pour une réduction de k %, nous avons f(x)= ( 1-\frac{k}{100}  )x.

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