Forme algébrique d’un nombre complexe : exercices de maths en terminale S.

Forme algébrique d’un nombre complexe avec des exercices corrigés de maths en terminale S avec sa partie réelle et imaginaire.

Exercice n° 1 :

Démontrer que les nombres complexes suivants sont égaux :

z=5i;z'=\frac{10+5i}{1-2i}

1. En calculant la différence z’-z.

2. En calculant le quotient \frac{z'}{z}.

Exercice n° 2 :

Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe suivant :

z=\frac{3+6i}{3-4i}

Exercice n° 3 :

On donne z_1=-1+3i;z_2=4-i.

Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

a)\,z_1^2-2z_2\\b)\,z_1z_2^2\\c)\,\frac{z_1}{z_2}\\d)\,\frac{z_1}{z_2}\\ e)\,\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}\\f)\, \frac{1}{z_1^2}+\frac{1}{z_2^2}

Exercice n° 4 :

Calculer la somme S=1+i+i^2+i^3+....+i^{2017}.

Exercice n° 5 :

On pose j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.

  1. Calculer j^2,j^3 puis j^n suivant les valeurs du nombre entier naturel n.
  2. Vérifier que 1+j+j^2=0.
  3. Calculer la somme S'=1+j+j^2+j^3+......j^{2017}+j^{2018}.

Exercice n° 6 :

P est le polynôme défini sur \mathbb{C} par P(z)=z^2-4z+5.

Vérifier que P(2+i)=0\,et\,P(2-i)=0.

Exercice n° 7 :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct d’unité graphique 2 cm.

On considère les points A,B,C et H d’affixes respectives : a=-3-i;b=-2+4i;c=3-i;h=-2.

1.a) Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

b) Montrer que V est le centre du cercle \xi circonscrit au triangle ABC. Préciser le rayon du cercle \xi.

c) Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe \frac{b-c}{h-a} .

En déduire que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

2. Dans la suite de cet exercice, on admet que H est l’orthocentre du triangle ABC, c’est-à-dire le point d’intersection des hauteurs du triangle ABC.

a. On note G le centre de gravité du triangle ABC.

L’affixe du point G vérifie g=\frac{1}{3}(a+b+c).

Placer le point G sur la figure.

b) Montrer que le centre de gravité G, l’orthocentre H et le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, noté V, sont alignés. Le vérifier sur la figure.

c) On note A’ le milieu de [BC] et K celui de [AH]. Déterminer la nature du quadrilatère KHA’V.

Remarque : dans un triangle, le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit au triangle sont alignés sur une droite (d) appelée droite d’Euler.


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