Homothéties : cours de maths en 3ème

Un cours sur les homothéties avec définition de la transformation ainsi que les différentes propriétés de conservation puis les effets sur les agrandissements ou réductions de figures.

I.L’homothétie :

Définition :

Transformer une figure par une homothétie de centre O, c’est l’agrandir ou la réduire

en faisant glisser les points le long des droites passant par O.

homothétie

Définition :

L’image d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k>0 est le point M’ tel que :

  • M’ appartient à la demi-droite [OM);
  • OM'=k\times   OM.

image d'une figure par homothétie

Propriété :

Une homothétie conserve :

  • l’alignement;
  • la mesure des angles
  • le parallélisme.

Si k >0, alors l’homothétie multiplie :

  • les longueurs par k;
  • les aires par k^2.

L’homothétie transforme une droite en une autre droite qui lui est parallèles.

Exemple :

Le rectangle A’B’C’D’ est l’image du rectangle ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport k=3.

AB = 2 cm donc A'B'=3\times   AB=3\times   2=6\,cm.

Aire_{ABCD}=2\,cm^2 donc Aire_{A'B'C'D'}=3^2\times   2=18\,cm^2.

homothétie d'un rectangle

Application 1 :

Construire les images du triangle par les homothéties de centre O et de rapport 3;-1 et – 2.

homothétie d'un triangle

Remarque :

L’image du triangle de départ par l’homothétie de centre O et de rapport – 1 est en fait une symétrie centrale de centre O.

Application 2 :

Construire les images du trapèze rectangle ABCD par les homothéties de centre O et de rapport \frac{2}{5} et – 0,8.

homothétie du trapèze

Application 3 :

On considère  l’homothétie de centre O et de rapport k qui transforme la chaussure verte en la chaussure rouge.

image d'une figure par homothétie 2

  1. Est-ce un agrandissement ou une réduction ? justifier votre réponse.
  2. Quel est la valeur du rapport k?
  3. Calculer l’aire de la chaussure rouge (arrondir le résultat au centième).
  1. C’est un agrandissement car nous observons que EF = 3,64 cm et E’F’ = 1,46 cm.
  2.  |k  |=\frac{E'F'}{EF}=\frac{1,456}{3,64}=0,4 donc comme  » alt= »O\in[EE’] » align= »absmiddle » /> alors k<0 donc k= – 0,4.
  3. Aire_{A'B'C'D'E'F'G'H'I'}=k^2\times   Aire_{ABCDEFGHI}=(-0,4)^2\times   16,48=2,6368\approx 2,64\,cm^2

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