Calculs d’intégrales et de primitives : exercices de maths en PDF en terminale S

Des exercices corrigés de maths sur les intégrales et le calcul de primitive en terminale S.

Ces exercices font intervenir le calcul et la détermination d’une primitive

ainsi que toutes les propriétés de l’opérateur intégral.

Ces exercices de maths sur les intégrales  sont à télécharger gratuitement au format pdf.

Ces fiche fait intervenir les notions suivantes :

  •  primitives;
  • linéarité de l’intégrale;
  • somme de deux intégrales;
  •  intégration par parties.

Exercice n° 1 :

Calculer la valeur des deux intégrales suivantes :

a)\int_{0}^{4}3dx\,\,\,;\,\,\,b)\int_{3}^{7} ( \frac{1}{2}t+2dt  )

Exercice n° 2 :

f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\frac{e^x}{ (e^x+1  )^2}.

Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, dire s’il s’agit d’une primitive de f sur \mathbb{R}.

F_1(x)=\frac{-1}{e^x+1}\\F_2(x)=\frac{2e^x+1}{e^x+1}\\F_3(x)=\frac{2e^{-x}+1}{e^{-x}+1}\\F_4(x)=\frac{e^{-x}+2}{e^{-x}+1}

Exercice n° 3 :

Déterminer une primitive sur \mathbb{R} des fonctions numériques suivantes :

a)\,f(x)=5x^4-3x+7\,,\,I=\mathbb{R}\\b)\,g(x)=4(3x-1)^5\,,\,I=\mathbb{R}\\c)\,\,h(x)=\frac{7x}{x^2+4}\,,\,I=]-4;+\infty[\\d)\,i(x)=3xe^x\,,\,I=\mathbb{R}

Exercice n° 4 :

a) Démontrer que pour tout réel t de l’intervalle [0;1],

2-2e^t\leq\,\, 2-2e^t\leq\, 0

b) Démontrer que, pour tout nombre réel t de l’intervalle [1;+\infty[

2-2e^{t^2}\leq\, 2-2e^t

c) En déduire :

  • un encadrement de \int_{0}^{1}(2-2e^{t^2})dt
  • l’inégalité \int_{1}^{5}(2-2e^{t^2})dt\leq\, 8+2(e-e^5)

Exercice n° 5 :

Démontrer que pour tout entier naturel n,

0\leq\, \int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}dx\leq\, ln2

Exercice n° 6 :

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d’une fonction f  définie

et continue sur l’intervalle [-4;4].

courbe et intégrale

Calculer les intégrales suivantes :

a)\,\int_{-4}^{-2}f(t)dt\\b)\,\int_{-2}^{2}f(t)dt\\c)\,\int_{2}^{4}f(t)dt

Exercice n° 7 :

Calculer chacune des intégrales suivantes :

a)\int_{-2}^{1}5dx\\b)\int_{-1}^{2}(-t+4)dt\\c)\int_{-3}^{3}(x+3)dx\\d)\int_{0}^{5}(2x+1)dx\\e)\int_{-2}^{2} ( 1-\frac{x}{2}  )dx\\f)\,\int_{-1}^{1} ( 1- | x  |  )dx

Exercice n° 8 :

Sur le graphique ci- dessous sont  tracées les courbes représentatives des
fonctions f et g définies sur [0 ; 1] par f(x)=x^2 et g (x) = -x^2 et deux surfaces
limitées par ces courbes.

1. Calculer l’aire, en unités d’aire, de la surface colorée en bleu.

2. En déduire, sans calcul, l’aire, en unités d’aire, de la surface colorée en rouge.

3. Retrouver l’aire précédente par un calcul d’intégrale.

Exercice n° 9 :

Pour l’exercice, indiquer si l’affirmation est vraie ou fausse, puis justifier.

Soit I=\int_{1}^{3}xdx  et  J=\int_{-2}^{2}-0,5x+1dx.

Par lecture graphique sur le schéma ci-contre  I = J.

Exercice n° 10 :
Déterminer une primitive de chacune des fonctions f, g et h sur \mathbb{R} par leurs expressions.
1)f(x)=2xe^{x^2-3};g(x)=\frac{x}{x^2+4};h(x)=cos(x)sin^2(x).
2)f(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+1};g(x)=\frac{x}{(x^2+1)^2};h(x)=x(x^2+5)^{-3}.
3)f(x)=xe^{-x^2},g(x)=\frac{e^x}{e^x+1};h(x)=\frac{8x}{\sqrt{2x^2+1}}.

Exercice n° 11 :

Soit une fonction f définie sur [ – 3 ; 5 ].

La courbe ci-dessous représente une primitive F sur [ – 3; 5 ] de f.

courbe fonction

Parmi les deux courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction f? Justifier.

Exercice n° 12 :
Pour tout entier naturel n, on pose :
I_n=\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx.
1)a) Encadrer l’inverse de x sur [ n ; n+1 ].
b) Calculer \int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx.
c) Démontrer que \frac{1}{n+1}\leq\, I_n\leq\, \frac{1}{n}.
2) En déduire la limite de la suite (I_n).

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