Limite de fonctions et opérations sur les limites : cours de maths en terminale S

Les tableaux ci-dessous résument les résultats à connaître.

Ces tableaux sont valables dans les trois situations étudiées:

  • Lorsque la variable x\to +\infty.
  • Lorsque la variable x\to -\infty.
  • Lorsque la variable x\to a où a \in R.

Mais il va de soi que, pour les deux fonctions f et g concernées, les limites sont prises au même endroit!
Dans le cas particulier où les fonctions sont des suites numériques, on peut utiliser ces résultats en remplaçant f par (Un) et g par (Vn) avec le seul cas envisageable la variable n\to +\infty.

Les conventions utilisées dans ces tableaux, sont:
· l et l'  désignent des nombres réels ( limites finies ).
· ? indique que dans la situation concernée, on n’a pas de conclusion générale.

On dit parfois qu’il s’agit d’une « forme indéterminée » notée F.I.

Il faudra dans ces cas, mettre au point d’autres méthodes de résolution.

I.Limite d’une somme de deux fonctions

limite somme fonctions

II.Limite d’une différence de deux fonctions

Utiliser : f – g = f + (-g) et le tableau précédent.

III.Limite d’un produit de deux fonctions

limite produit fonctions

IV.Limite de l’inverse d’une fonction

Dans le tableau ci-dessous, la limite de f égale à 0^+ , signifie, qu’à l’endroit où la limite est prise, cette limite est zéro et que, pour tout x suffisamment proche de cet endroit, on a f(x) > 0.
Définition analogue pour 0^- , mais avec f(x) < 0.

limite inverse fonction

V. Limite d’un quotient de deux fonctions

On peut utiliser: \frac{f}{g}=f\times   \frac{1}{g} et avec les deux tableaux précédents, il est possible de conclure.

En + \infty ou en – \infty , la limite d’une fonction rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

On peut aussi retenir les résultats suivants :

limite quotient fonction

Ce tableau est simplifié: ± \infty signifie + \infty ou bien – \infty .

Pour décider, on applique la règle du signe du quotient selon les signes de f et de g au voisinage de l’endroit où la limite est cherchée.

VI.Limite des fonctions de références.

limites fonction référence


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