Nombres complexes : exercices de maths en PDF en terminale S

Des exercices corrigés de mathématiques en terminale S sur les nombres complexes.

Ces exercices corrigés de maths sur les nombres complexes reprennent toutes les notions sur les nombres complexes en terminale S.

Cette série d’exercices sur les nombres complexes en terminale S fait intervenir les notions suivantes :

  • définition d’un nombre complexe;
  • écriture arithmétique;
  •  écriture algébrique;
  • formule d’Euler;
  • formule de Moivre;
  • affixe d’un nombre complexe;
  • écriture exponentielle;
  • aspect géométrique des nombres complexes.

Ces exercices corrigés de mathématiques en terminale S sur les nombres complexes sont à télécharger gratuitement au format PDF.

Exercice n° 1 :
On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé (O ;\vec{u},\vec{v}) , et on considère
les points A, B et C distincts situés sur le cercle de centre O et de rayon r.
Les points A’, B’ et C’ sont les images de A, B et C par la rotation de centre O et d’angle\frac{\pi}{3}.
Les points U, V et W sont les milieux des segments [A’B], [B’C], [C’A] ; montrer que le triangle UVW est équilatéral.

Exercice n° 2 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ;\vec{u},\vec{v}) , et on considère l’application
f du plan complexe dans lui-même qui au point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe f(z)=\frac{z+i\overline{z}}{2}.

1. Montrer que l’ensemble (d) des points M dont l’affixe z vérifie f(z) = z est une droite.
2. Montrer que le nombre \frac{f(z)-z}{1-i}est réel.
3. En déduire que M’ appartient à la droite ∆ passant par M et de vecteur directeur \vec{u}-\vec{v}
4. Montrer que pour tout nombre complexe z, f(f(z))=f(z).
5. Déduire des questions précédentes que M’ est le point d’intersection des deux droites (d) et
∆.
6. Caractériser géométriquement l’application f.

Exercice n° 3 :
On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé(O ;\vec{u},\vec{v}).
On désigne par A le point d’affixe 1 et par C le cercle de centre A et de rayon 1.

PARTIE A :
Soit F le point d’affixe 2, B le point d’affixe z_B=1+e^{i\frac{\pi}{3}} et E le point d’affixe z_E=1+z_B^2.

Montrer que le point B appartient au cercle C.
Déterminer une mesure en radians de l’angle  ( \vec{AF},\vec{AB}  ). Placer le point B.
Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes z_B-z_A et z_E-z_A.
En déduire que les points A, B et E sont alignés. Placer le point E.

PARTIE B :
Pour tout nombre complexe z tel que z\neq 1, on considère les points M et M’ d’affixes respectives z et z’ où z'=1+z^2.
Pour z\neq 0 et z\neq 1, donner, à l’aide des points A, M et M’ une interprétation géométrique d’un argument du nombre complexe \frac{z'-1}{z-1}.
En déduire que les points A, M et M’ sont alignés si et seulement si \frac{z^2}{z-1} est un réel.

Exercice n° 4 :
On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ;\vec{u},\vec{v}), et l’application
f du plan complexe dans lui-même qui au point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z^3-3z^2+3z.
On considère les points B et C d’affixe respectives i et i\sqrt{3}.

1. Calculer les affixes des points images de O, B et C par f.
2. Placer les points B et C et leur image B’ et C’ .
3. L’application f conserve-t-elle l’alignement ?
4. Montrer qu’un point M d’affixe z est invariant par f si et seulement si z vérifie l’équation :
z^3-3z^2+3z=0.

5. En déduire que f possède trois points invariants dont on déterminera les affixes.
6. Montrer pour tout z de \mathbb{C}, z'-1=(z-1)^3.

Exercice n° 5 :
On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé(O ;\vec{u},\vec{v}).
On considère le point M d’affixe z, le point M_1 d’affixe z , le point A d’affixe 2 et le point B d’affixe 1. Soit f l’application de P privé de A dans P, qui à tout point M d’affixe z  associe le point M’ d’affixe z’ tel  que z'=\frac{z+4}{\overline{z}-2}.
Déterminer les points invariants par f .


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