Une série d’exercices corrigés de maths en terminale S sur le produit scalaire.
Cette fiche fait intervenir les notions suivantes :
- définition du produit scalaire;
- propriété de bilinéarité du produit scalaire;
- symétrie du produit scalaire;
- produit scalaire dans le plan et l’espace.
Exercice n° 1 :
Dans un repère orthonormé de l’espace le vecteur a pour coordonnées (1;2;4).
Calculer .
Exercice n° 2 :
Dans un repère orthonormé de l’espace, A et B sont les points de coordonnées respectives
(3;1;0) et (5;0;1).
Calculer .
Exercice n° 3 :
et
sont deux vecteurs de l’espace tels que
,
et
.
Calculer .
Exercice n° 4 :
et
sont deux vecteurs de l’espace tels que AB = 5, AC = 8 et
.
Calculer .
Exercice n° 5 :
ABCDEFGH est un cube de côté .
Les points M et N sont les centres des faces BCGF et EFGH.
a) Vérifier que .
b) Calculer et
.
c) En déduire la valeur du produit scalaire .
Exercice n° 6 :
Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne les coordonnées des vecteurs et
.
Calculer .
Exercice n° 7 :
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1;-1;0), B(-2,2,6), C(3,1,- 8)
et le vecteur .
1.Vérifier que les points A,B,C ne sont pas alignés.
2.a) Démontrer que le vecteur est normal au plan ABC.
b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
Exercice n° 8 :
Dans un repère orthonormé, A et B sont les points de coordonnées respectives
(3,2,0) et (5,1,-1) .
est le plan passant par A et orthogonal à la droite (AB).
a. Donner un vecteur normal au plan .
b. En déduire une équation cartésienne du plan .
Exercice n° 9 :
Soit les points de l’espace A(-4;4;0), B(4;0;-4) et C(1;1;1)
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
2. Déterminer la distance entre le point C et son projeté orthogonal H sur la droite (AB).
H est tel que les droites (CH) et (AB) sont perpendiculaires.
Exercice n° 10 :
Soit P le plan passant par le point A (4; 8;-4) et dirigé par les vecteurs (2 ; -1 ; 3) et
(4; 1; -3).
1. Démontrer que (0 ; 3 ; 1) est un vecteur normal au plan P.
2. Déterminer un vecteur normal au plan P, tel que la troisième coordonnée de
, soit égale 7.
3. Déterminer un vecteur normal du plan P, tel que la deuxième coordonnée de
, soit égale – 1.
4. Est-il possible de trouver un vecteur normal au plan P dont la première coordonnée est égale à 4 ?
Exercice n° 11 :
Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est :
avec
.
Déterminer une équation du plan P passant par le point A(8;-5 ;3) et perpendiculaire à la droite (d).
Exercice n° 12 :
ABCDEFGH est un cube.
Le point I est le milieu de [AB] et le point J est le milieu de [DH].
On se place dans le repère orthonormé .
1. Déterminer les coordonnées des points I, Jet G.
2. Justifier que les points I, J et G définissent un plan.
3. a. Déterminer des réels a, b et c tels que soit un vecteur normal au plan (IJG).
b. En déduire une équation du plan (IJG).
Exercice n° 13 :
Soit P le plan d’équation 2x – 5y +3z-7=0.
Les droites (d1) et (d2) sont définies par une représentation paramétrique donnée ci-dessous :
et
avec
.
1. Le plan P et la droite (d1) sont-ils sécants ?
2. Déterminer l’intersection du plan P et de la droite (d2).
Exercice n° 14 :
On considère les points A(0;4;1), B(1;3;0), C(2;-1;-2) et D(7;- 1;4).
1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit la droite passant par le point D et de vecteur directeur
(2 ; —1 ; 3).
a. Démontrer que la droite est orthogonale au plan (ABC).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite et du plan (ABC).
3. Soit le plan d’équation x + y + z = 0 et
le plan d’équation x +4y +2=0.
a. Démontrer que les plans et
sont sécants.
b. Vérifier que la droite (d), intersection des plans et
a pour représentation paramétrique
c. La droite (d) et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?
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