Produit scalaire : exercices en PDF en terminale S avec corrigé.

Mise à jour le 29 septembre 2020

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Une série d’exercices corrigés de maths en terminale S sur le produit scalaire.

Cette fiche fait intervenir les notions suivantes :

définition du produit scalaire;
propriété de bilinéarité du produit scalaire;
symétrie du produit scalaire;
produit scalaire dans le plan et l’espace.

Exercice n° 1 :

Dans un repère orthonormé de l’espace le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées (1;2;4).

Calculer $\| \vec{u} \|$ .

Exercice n° 2 :

Dans un repère orthonormé de l’espace, A et B sont les points de coordonnées respectives

(3;1;0) et (5;0;1).

Calculer $\| \vec{AB} \|$ .

Exercice n° 3 :

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de l’espace tels que $\| \vec{u} \|=1$ , $\| \vec{v} \|=2$ et $\| \vec{v}-\vec{u} \|=\sqrt{5}$ .

Calculer $\vec{u}.\vec{v}$ .

Exercice n° 4 :

$\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont deux vecteurs de l’espace tels que AB = 5, AC = 8 et $\vec{BAC}=60 ^{\circ}$ .

Calculer $\vec{AB}.\vec{AC}$ .

Exercice n° 5 :

ABCDEFGH est un cube de côté .

Les points M et N sont les centres des faces BCGF et EFGH.

a) Vérifier que $AM^2=\frac{3}{2}a^2$ .

b) Calculer AN^2 et MN^2 .

c) En déduire la valeur du produit scalaire $\vec{AM}.\vec{AN}$ .

Exercice n° 6 :

Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne les coordonnées des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Calculer $\vec{u}.\vec{v}$ .

$a)\,\vec{u}(2;3;-1)\vec{v}(1;0;2)\\b)\vec{u}(0;-2;5)\vec{v}(6;1;1)\\c)\vec{u}(1;-1;2)\vec{v}(3;-1;1)$

Exercice n° 7 :

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1;-1;0), B(-2,2,6), C(3,1,- 8)

et le vecteur $\vec{n}(3,1,1)$ .

1.Vérifier que les points A,B,C ne sont pas alignés.

2.a) Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan ABC.

b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Exercice n° 8 :

Dans un repère orthonormé, A et B sont les points de coordonnées respectives

(3,2,0) et (5,1,-1) .

$\rho$ est le plan passant par A et orthogonal à la droite (AB).

a. Donner un vecteur normal au plan $\rho$ .

b. En déduire une équation cartésienne du plan $\rho$ .

Exercice n° 9 :

Soit les points de l’espace A(-4;4;0), B(4;0;-4) et C(1;1;1)

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

2. Déterminer la distance entre le point C et son projeté orthogonal H sur la droite (AB).

H est tel que les droites (CH) et (AB) sont perpendiculaires.
Exercice n° 10 :

Soit P le plan passant par le point A (4; 8;-4) et dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ (2 ; -1 ; 3) et $\vec{v}$ (4; 1; -3).
1. Démontrer que $\vec{n}$ (0 ; 3 ; 1) est un vecteur normal au plan P.
2. Déterminer un vecteur normal $\vec{n_1}$ au plan P, tel que la troisième coordonnée de $\vec{n_1}$ , soit égale 7.
3. Déterminer un vecteur normal $\vec{n_2}$ du plan P, tel que la deuxième coordonnée de $\vec{n_2}$ , soit égale – 1.
4. Est-il possible de trouver un vecteur normal au plan P dont la première coordonnée est égale à 4 ?
Exercice n° 11 :

Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est :

$\{\begin{matrix} x=3-2t\\ y=1+5t\\z=-7+6t \end{matrix}.$ avec $t\in \mathbb{R}$ .
Déterminer une équation du plan P passant par le point A(8;-5 ;3) et perpendiculaire à la droite (d).
Exercice n° 12 :

ABCDEFGH est un cube.

Le point I est le milieu de [AB] et le point J est le milieu de [DH].
On se place dans le repère orthonormé $(A ; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ .
1. Déterminer les coordonnées des points I, Jet G.
2. Justifier que les points I, J et G définissent un plan.
3. a. Déterminer des réels a, b et c tels que $\vec{n}(a ; b ; c)$ soit un vecteur normal au plan (IJG).
b. En déduire une équation du plan (IJG).

Exercice n° 13 :

Soit P le plan d’équation 2x – 5y +3z-7=0.
Les droites (d1) et (d2) sont définies par une représentation paramétrique donnée ci-dessous :

$(d_1):\{\begin{matrix} x=5+4t \\ y=2+t\\z=9-t \end{matrix}.$ et $(d_2):\{\begin{matrix} x=2+3t \\ y=2t\\z=1+5t \end{matrix}.$ avec $t\in \mathbb{R}$ .

1. Le plan P et la droite (d1) sont-ils sécants ?
2. Déterminer l’intersection du plan P et de la droite (d2).
Exercice n° 14 :

On considère les points A(0;4;1), B(1;3;0), C(2;-1;-2) et D(7;- 1;4).
1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\vec{u}$ (2 ; —1 ; 3).
a. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ .
d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
3. Soit P_1 le plan d’équation x + y + z = 0 et P_2 le plan d’équation x +4y +2=0.
a. Démontrer que les plans P_1 et P_2 sont sécants.
b. Vérifier que la droite (d), intersection des plans P_1 et P_2 a pour représentation paramétrique

$\{\begin{matrix} x=-4t-2 \\ y=t\\z=3t+2 \end{matrix}.$

c. La droite (d) et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ?

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