Trigonométrie et relations métriques en 1ère S

Mise à jour le 21 janvier 2021

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sommaire

1 I.Les fonctions trigonométriques
2 II.Cosinus et sinus d’angles remarquables.
3 III.Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.
4 IV.Formules usuelles concernant les angles associés.
5 V.Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus

Un cours de maths en première S sur les relations métriques dans un triangle quelconque.

Ce cours de maths sur les relations métriques (relations d’Al-Kashi, théorème de Pythagore généralisé)

Cette leçon est à télécharger gratuitement au format pdf.

I.Les fonctions trigonométriques

Dans cette leçon, $(O,\vec{u},\vec{v})$ est un repère orthonormal de sens direct.

Les points A et B sont donc sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

1.Définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

Définition :

A tout réel $\alpha$ , on associe le point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté $(\vec{u},\vec{OM})$ mesure $\alpha$ radian(s).

Le cosinus et le sinus de $\alpha$ sont donc les coordonnées de M dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ .

On a: $M(cos\alpha ,sin \alpha )$ c’est à dire : $\vec{OM}=cos\alpha \vec{u}+sin\alpha \vec{ v}$ .

2.Premières propriétés.

Propriétés :

Si $\alpha$ =0 alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est le point A(1 ; 0). Donc cos(0) = 1 et sin(0) = 0

Si $\alpha =\frac{\pi}{2}$ , alors le point du cercle trigonométrique associé à $\alpha$ est B(0 ; 1).Donc $cos(\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(\frac{\pi}{2})=1$ .

Si $\alpha =\pi$ , alors x est associé à A'(-1 ;0). Donc $cos( \pi )=-1$ et $sin( \pi )=0$ .

Si $\alpha =-\frac{\pi}{2}$ alors $\alpha$ est associé à B'(0 ;-1). Donc $cos(-\frac{\pi}{2})=0$ et $sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ .

Si $\alpha$ est un réel alors pour tout entier relatif k, les réels $\alpha$ et $\alpha +2k\pi$ sont associés au même point M.
En effet ce sont deux mesures de l’angle orienté .
Donc, pour tout nombre réel x et tout entier relatif k, on a:

$cos( \alpha +2k\pi) = cox( \alpha )$

$sin( \alpha +2k\pi) = sin( \alpha )$

On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ , car T = $2\pi$ est le plus petit réel strictement positif tel que: cos ( $\alpha$ + T) = cos $\alpha$ et sin ( $\alpha$ + T) = sin $\alpha$ .

Le théorème de Pythagore permet de prouver l’égalité:
$(sin \alpha )^2 + (cos \alpha)^2 = 1$ que l’on écrit aussi sous la forme: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$ .

3.Signe du sinus et du cosinus.

Par définition, le sinus et le cosinus de tout nombre réel appartiennent à l’intervalle [-1 ; 1].

Plus précisément, la position de M nous permet d’en savoir plus sur le cosinus et le sinus de $\alpha$ .

Propriétés :

On a :

Si $\alpha \in[0+2k\pi,\pi+ 2k\pi]$ alors $sin\alpha \geq\, 0$ .
Si $\alpha \in[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+ 2k\pi]$ alors $cos\alpha \geq\, 0$ .

II.Cosinus et sinus d’angles remarquables.

Tous ces résultats à connaître parfaitement sont résumés dans le tableau ci-dessous:

III.Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.

C’est un outil indispensable, qu’il est utile de bien visualiser afin d’être capable de retrouver rapidement les valeurs indiquées ci-dessous.

IV.Formules usuelles concernant les angles associés.

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos(–x) = cos(x) et sin(–x) = –sin(x).

La fonction cosinus est donc paire et la fonction sinus est impaire.

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\pi$ – x) = – cos(x) et sin( $\pi$ – x) = sin(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\pi$ + x) = – cos(x) et sin( $\pi$ + x) = – sin(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\frac{\pi}{2}+x$ ) = – sin(x) et sin( $\frac{\pi}{2}+x$ ) = cos(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos( $\frac{\pi}{2}-x$ ) = sin(x) et sin( $\frac{\pi}{2}-x$ ) = cos(x).

V.Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus

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