sommaire
Un cours de maths en première S sur les relations métriques dans un triangle quelconque.
Ce cours de maths sur les relations métriques (relations d’Al-Kashi, théorème de Pythagore généralisé)
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I.Les fonctions trigonométriques
Dans cette leçon, est un repère orthonormal de sens direct.
Les points A et B sont donc sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
1.Définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.
A tout réel , on associe le point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté
mesure
radian(s).
Le cosinus et le sinus de sont donc les coordonnées de M dans le repère
.
On a: c’est à dire :
.
2.Premières propriétés.
- Si
=0 alors le point du cercle trigonométrique associé à
est le point A(1 ; 0). Donc cos(0) = 1 et sin(0) = 0
- Si
, alors le point du cercle trigonométrique associé à
est B(0 ; 1).Donc
et
.
- Si
, alors x est associé à A'(-1 ;0). Donc
et
.
- Si
alors
est associé à B'(0 ;-1). Donc
et
.
- Si
est un réel alors pour tout entier relatif k, les réels
et
sont associés au même point M.
En effet ce sont deux mesures de l’angle orienté .
Donc, pour tout nombre réel x et tout entier relatif k, on a:
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période , car T =
est le plus petit réel strictement positif tel que: cos (
+ T) = cos
et sin (
+ T) = sin
.
Le théorème de Pythagore permet de prouver l’égalité:
que l’on écrit aussi sous la forme:
.
3.Signe du sinus et du cosinus.
Par définition, le sinus et le cosinus de tout nombre réel appartiennent à l’intervalle [-1 ; 1].
Plus précisément, la position de M nous permet d’en savoir plus sur le cosinus et le sinus de .
On a :
- Si
alors
.
- Si
alors
.
II.Cosinus et sinus d’angles remarquables.
Tous ces résultats à connaître parfaitement sont résumés dans le tableau ci-dessous:
III.Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.
C’est un outil indispensable, qu’il est utile de bien visualiser afin d’être capable de retrouver rapidement les valeurs indiquées ci-dessous.
IV.Formules usuelles concernant les angles associés.
Pour tout réel x, on a:
cos(–x) = cos(x) et sin(–x) = –sin(x).
La fonction cosinus est donc paire et la fonction sinus est impaire.
Pour tout réel x, on a:
cos( – x) = – cos(x) et sin(
– x) = sin(x).
Pour tout réel x, on a:
cos( + x) = – cos(x) et sin(
+ x) = – sin(x).
Pour tout réel x, on a:
cos() = – sin(x) et sin(
) = cos(x).
Pour tout réel x, on a:
cos() = sin(x) et sin(
) = cos(x).
V.Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus
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