Solides et sections dans l'espace et calculs de volumes : cours en 5ème.

Mise à jour le 2 février 2020

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sommaire

1 I.Le prisme droit
- 1.1 1.Vocabulaire
- 1.2 2.Patron d’un prisme droit
2 II.Le cylindre de révolution
- 2.1 2.Patron d’un cylindre de révolution
3 III.Les sections de solides
4 IV: Calcul du volume d’un solide

Cours sur les sections de solides dans l’espace et le calcul du volume du prisme droit, du cylindre de révolution et l’étude des sections de ces différents solides de l’espace en classe de cinquième (5ème).

I.Le prisme droit

1.Vocabulaire

Définition :

Un prisme droit est un solide de l’espace ayant ses deux bases qui sont des polygones superposables et ses faces latérales sont des rectangles.

La base du premier prisme est un triangle
Il a cinq faces dont trois faces latérales, 9 arêtes et six sommets.
La base du second prisme est un pentagone.
Il a 7 faces dont 5 faces latérales, 15 arêtes et dix sommets.

Remarque :

Toutes les faces latérales ont une dimension commune : la hauteur du prisme.
Le nombre de faces latérales est égal au nombre de côtés de la base.

2.Patron d’un prisme droit

Exemple :

Voici le patron d’un prisme droit. Sa base est un triangle dont les côtés ont pour longueur 5 cm, 4 cm et 3 cm et dont la hauteur est égale à 2 cm.

II.Le cylindre de révolution

Définition :

Un cylindre de révolution est un solide ayant deux bases qui sont des disques superposables et la surface latérale est un rectangle enroulé autour es bases.

Les deux bases sont des disques de même rayon.
La droite qui joint les centres des deux bases est appelée axe du cylindre.
La hauteur du cylindre est la longueur du segment qui joint les centres des deux disques de base.

2.Patron d’un cylindre de révolution

Exemple :

Voici le patron d’un cylindre de révolution de hauteur 3 cm ayant pour base un disque de rayon 1 cm.

La surface latérale de ce cylindre est un rectangle :

qui a pour largeur la hauteur du prisme soit 3 cm.
qui a pour longueur le périmètre du disque de base soit $P=2\times \pi\times r=2\pi\times 1\approx 6,28\,cm$ .

III.Les sections de solides

Définition :

La section d’un solide par un plan est l’intersection entre ce solide et le plan.

Propriété :

La section d’un prisme par un plan parallèle à une base est un polygone identique à la base.

Exemple :

On coupe un prisme à base triangulaire par un plan parallèle à sa base.

La section est un triangle identique au triangle de base.

Remarque :

Les pavés sont des prismes particuliers, pour lesquels la section d’un plan parallèle à la base est un rectangle identique à cette base.

Exemple :

On coupe un cylindre de révolution de hauteur 4 cm dont le rayon de la base est 1 cm, par un plan perpendiculaire à son axe.

La section est un disque de rayon 1 cm.

Propriété :

La section d’un cylindre de révolution par un plan qui est perpendiculaire à son axe de rotation est un disque ayant le même rayon que la base de ce cylindre de révolution.

Propriété :

La section d’un cylindre de révolution par un plan contenant son axe de rotation est un rectangle.

Exemple :

On coupe un cylindre de révolution de hauteur 5 cm, dont le rayon de la base est 2 cm, par un plan contenant son axe.

La section est un rectangle de longueur la hauteur du cylindre : 5 cm et de largeur le diamètre de la base : 4 cm.

IV: Calcul du volume d’un solide

Propriété :

Pour calculer le volume V d’un prisme droit ou d’un cylindre de révolution, on multiplie l’aire d’une base par sa hauteur h.

$V=A_{base}\times h$

Exemple :

Un grenier a la forme d’un prisme droit à base triangulaire. On veut calculer son volume.

On calcule l’aire d’une base qui est un triangle rectangle :

$A_{base}=\frac{4\times 3}{2}=6\,m^2$

On multiplie l’aire d’une base par la hauteur :

$V_{prisme-droit}=A_{base}\times h=6\times 5=30\,m^2$

Le volume de ce grenier est de 30 m².

Une canette a la forme d’un cylindre de révolution.

On veut calculer sa contenance en centilitres.

On calcule l’aire d’une base qui est un disque de rayon 3 cm.

$A_{disque}=\pi\times r^2=\pi\times 3^2=9\pi\,cm^2$

On multiplie l’aire d’une base par sa hauteur qui est de 11 cm.

$V_{cylindre}=A_{base}\times h=9\pi\times 11=99\pi\approx 311\,cm^3$ .

Le volume de cette canette est d’environ 311 cm^3 soit 311 mL soit 31,1 cL.

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