Suites numériques : cours de maths en 1ère S en PDF

Un cours de maths sur les suites numériques en première S.

Cette leçon fait intervenir les notions suivantes :

– définition d’une suite;

– suite croissante ou décroissante;

– suite définie par une fonction;

– suites récurrentes;

– convergence d’une suite;

– théorème des gendarmes;

– limite d’une suite.

Celle leçon sur les suites numériques est à télécharger gratuitement au format PDF.

I.Les suites numériques

1.Définition et vocabulaire

Définition :

Une suite numérique est une fonction de \mathbb{N}  vers \mathbb{R} , u:n \mapsto   u(n).

2. Notations et  vocabulaire

Notations :

L’écriture fonctionnelle u(n) est peu utilisée pour désigner l’image de l’entier naturel n par la fonction u. On lui préfère la notation indexée (ou indicée): u_n .

Avec cette notation l’image de 0 est u_0.
On appelle u(0)=u_0 , le premier terme de la suite (u_n) .

De même, u(1) = u_1 est le second terme de la suite s.

De façon générale:
u_n est le terme d’indice n ou de rang n de la suite (u_n).
On dit aussi que u_n est le terme général de la suite (u_n).

On écrit aussi u = (u_n) , pour indiquer qu’il s’agit de la suite dont le terme de rang n est u_n où n\in\mathbb{N} .

Remarque:

Il arrive parfois que le premier terme d’une suite (u_n) ne soit pas u_0 .
Par exemple :

u_n=\frac{1}{n}  n’existe pas pour n = 0.

La suite commence au rang 1.

On écrira alor (u_n)n\in\mathbb{N}.

t_n=\frac{1}{n(n-1)}          n’existe pas pour n = 0, ni pour n = 1.

La suite commence au rang 2.

Dans tous les cas de ce type-là, on précisera le sous-ensemble de \mathbb{N}  où la suite est définie.

II.Diverses manières de définir une suite

1. Suites définies par une égalité fonctionnelle

      Une suite numérique étant une fonction définie sur \mathbb{N} , c’est donc la restriction à  \mathbb{N} d’une fonction définie sur \mathbb{R}  ou un sous ensemble de \mathbb{R} contenant \mathbb{N} .
Par exemple, la suite u_n=n^2 (n\in
\mathbb{N} ), est la restriction à \mathbb{N}  de la fonction f définie sur \mathbb{R}  par f(x) = x^2 . L’intérêt de cette remarque réside dans le fait que les propriétés déjà étudiées pour les fonctions de la variable réelle seront utilisables pour les suites.

2.Suite définie par une formule de récurrence

La spécificité des suites sur les fonctions de la variable réelle, est que, pour tout entier naturel n, son image u_n étant « numérotable », on peut définir le terme u_{n+1} en fonction du terme précédent u_n par une formule appelée formule de récurrence.

Plus précisément, la suite (u_n) sera définie par récurrence par:
– Son premier terme u_0 .
– Une égalité reliant deux termes consécutifs quelconques de la suite  u_{n+1}=f(u_n).

Par exemple, la suite définie par son premier terme u_0=5 et la formule de récurrence vérifiée pour tout entier n: u_{n+1}=\sqrt{u_n} .

III.Les suites arithmétiques et géométriques:

1.Définitions et formules

Soit n  un entier naturel quelconque :

suites arithmétiques géométriques

Exemples:
                – La suite des entiers naturels est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
– La suite des entiers naturels pairs est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.
– La suite des entiers naturels impairs est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
– La suite définie par la formule:  Un = an + b  (fonction affine de n) est la suite arithmétique de premier terme U0 = b et de raison a.
– La suite constante de terme général Un = 2 est la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 1.
– La suite de terme général Un = (-1)n est la suite géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison -1.
– La suite des puissances d’un nombre réel a non nul, de terme général Un = an est la suite géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison a.
– La suite définie par la formule: Un = a bn  (fonction exponentielle de n) est la suite géométrique de premier terme U0 = a et de raison b (b réel non nul).

2.Somme des termes d’une suite arithmétique

Propriété :

Si (u_n) est une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r, on a:
Pour tout entier naturel n, on a:

\sum_{k=o0}^{n}u_k=u_0+u_1+...+u_n=(n+1)\times   \frac{u_0+u_n}{2}

3.Somme des n premiers entiers

Propriété :

\sum_{k=0}^{n}k=1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

4.Somme des termes d’une suite géométrique

Propriété :

Pour tout entier naturel n, et pour tout réel q\neq 1, on a:

\sum_{k=0}^{n}q^k=1+q+q^2+....+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}

Moyen mnémotechnique : \frac{suivant-premier}{raison-1}.

Propriété :

Si (u_n) est une suite géométrique de premier terme u_0 et de raisonq\neq 1, on a:

\sum_{k=o0}^{n}u_k=u_0+u_1+...+u_n= \frac{u_{n+1}-u_0}{q-1}.


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