Théorème de Thalès : cours de maths en 3ème

Un cours de maths en troisième (3ème) sur la partie directe et réciproque du fameux théorème de Thalès. Nous calculerons, dans cette leçon, la longueur d’un segment ou sinon, nous démontrerons si deux droites sont parallèles ou pas.

I.La partie directe du théorème de Thalès :

1.Le théorème de Thalès :

Propriété :

On considère une configuration de Thalès.

configuration de Thalès

Si on a :

  • M\in(AB);
  • N\in(AC)
  • (MN)//(BC)

alors nous avons les égalités des rapports suivantes :

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.

Trois configurations illustrent le théorème de Thalès dites du « triangle », du « sablier », du « huit ».

Trois configurations du théorème de Thalès

Remarque :

Les longueurs du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs du triangle ABC.

2.Calculs de longueurs :

Exemple  :

La figure ci-dessus est composée de quatre droites.

Les droites bleues sont parallèles.

DG=25 mm, GH=45 mm, CG = 20 mm, HT = 27 mm.

Les droites (DH) et (CT) sont sécantes en G.

Les droites (CD) et (HT) sont parallèles.

D’après la partie directe du théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

\frac{GC}{GT}=\frac{GD}{GH}=\frac{CD}{HT} soit \frac{20}{GT}=\frac{25}{45}=\frac{CD}{27}.

Calcul de GT :

GT=\frac{20\times   45}{25}=36\,mm

Calcul de CD :

CD=\frac{25\times   27}{45}=15\,mm

3.Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles :

Exemple :

Configuration de Thalès

Ci-dessus, les droites (ES) et (MR) sont sécantes en T.

TR= 11 cm; TS = 8 cm; TM = 15 cm et TE= 10 cm.

D’une part, \frac{TR}{TM}=\frac{11}{15}=\frac{22}{30};\frac{TS}{TE}=\frac{8}{10}=\frac{24}{30}.

On constate que \frac{TR}{TM}\neq \frac{TS}{TE}.

Or, si les droites (RS) et (ME) étaient parallèles, d’après le théorème de Thalès, il y aurait égalité.

Comme ce n’est pas le cas, les droites (RS) et (ME) ne sont pas parallèles.

II. Le théorème réciproque :

Réciproque du théorème de Thalès :

Propriété :

Si les points A,N,C sont alignés dans le même ordre

et si nous avons :

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}  alors  (MN)//(BC).

configuration de Thalès

Remarque :

Attention, il ne suffit pas de vérifier l’égalité des rapports : il faut aussi s’assurer que les points sont bien placés dans le bon ordre.

2.Démontrer que deux droites sont parallèles :

Exemple :

Ci-dessus, les droites (HA) et (TL) sont sécantes en M.

D’une part, \frac{MH}{MA}=\frac{4}{3}, d’autre part \frac{MT}{ML}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.

On constate que \frac{MH}{MA}=\frac{MT}{ML}.

De plus, les points A,M,H d’une part et les points M,L,T d’autre part sont alignés dans le même ordre.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AL) et (HT) sont parallèles.


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