La translation et la rotation : cours en 4ème

Cours sur la translation et sur la rotation en quatrième (4ème) avec la définition et les propriétés de ces deux transformations du plan étudiées au collège.Cette leçon est rédigée par une équipe d’enseignants de l’éducation nationale et elle est conforme aux programmes en vigueur.

I.La translation

1.Définition de la translation

Définition :

Lorsque l’on fait glisser la figure F_1 de manière à ce que A arrive en B, elle se superpose avec la figure F_2.

La figure F_2 est l’image de la figure F_1 par la translation qui transforme A en B.

Définition de la translation

2.Image d’un point et d’un segment par translation

Propriété :

L’image du point M par la translation qui transforme A en B est le point M’, tel que les segments

[MB] et [AM’] ont le même milieu.

Si les points ne sont pas alignés, alors ABM’M est un parallélogramme.

Propriété de l'image d'un point par translation

Propriété :

L’image d’un segment par une translation est un segment de même longueur.

La translation conserve les mesures d’angles, les périmètres, les aires et le parallélisme.

Exemple :

Dans la translation qui transforme A et B, le segment [MN] a pour image [M’N’] sont parallèles [M’N’] sont parallèles et de même longueur.

Exemple de translation

II.La rotation

1.Définition de la rotation

Définition :

Lorsque l’on fait tourner la figure F_1 autour du point O d’un angle de mesure \alpha dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, elle se superpose avec la figure F_2.

F_2 est l’image de la figure F_1 par la rotation de centre O et d’angle \alpha.

Définition de la rotation

Remarque :

  • Dans toute cette leçon, le sens de rotation sera toujours le sens trigonométrique (sens contraire des aiguilles d’une montre).
  • La rotation de centre O et d’angle 180° est la symétrie centrale de centre O.

2.Image d’un point par une rotation

Propriété :

On considère deux points distincts O et M.

L’image du point M par la rotation de centre O et d’angle \alpha est le point M’ tel que OM’=OM et \widehat{MOM'}=\alpha.

Propriété de l'image d'un point par rotation

III.Propriétés de la translation et de la rotation

Propriété :

La translation et la rotation conservent les longueurs, les périmètres, les aires de figures ainsi que l’alignement et le parallélisme et les mesures d’angles.

Exemple :

Le quadrilatère A’B’C’D’ est l’image de ABCD par la rotation de centre O et d’angle 60°.

Le quadrilatère A'_1B'_1C'_1D'_1 est l’image de ABCD par la translation qui transforme A en A'_1.

Exemple de rotation

  • Les aires  et les périmètres des trois quadrilatères sont égaux.
  • Les points A, B et K sont alignés, donc leurs images A'_1,B'_1,K'_1 sont également alignées.
  • Le point J est le milieu du segment [BC] , donc son image J’ par la rotation est le milieu du segment [B’C’].
  • L’angle \widehat{A'_1B'_1C'_1} est l’image de l’angle \widehat{ABC} par la translation, ils ont donc la même mesure.
  • L’angle \widehat{A'B'C'} est l’image de l’angle  \widehat{ABC}  par la rotation, ils ont donc la même mesure.

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