cours maths 5ème

Triangle et cercle circonscrit : cours de maths en 5ème.

Un cours de mathématiques sur le triangle en classe de cinquième.

Ce cours de maths sur les triangles en cinquième (5ème) fait intervenir les notions suivantes :

– définition du triangle et triangles particuliers;

– construction de triangles avec le matériel de géométrie;

– inégalité triangulaire;

– définition et propriété de la médiatrice d’un segment;

– cercle circonscrit à un triangle;

– somme des mesures des angles d’un triangle.

I.Propriétés dans un triangle

1.L’inégalité triangulaire

Définition :

La hauteur d’un triangle est la droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire à son côté opposé.

Propriété : (inégalité triangulaire).

Pour tout triangle ABC, nous avons BC\leq\, AB+AC.
Un triangle est constructible lorsque la plus grande longueur est inférieure ou égale à la somme des deux plus petites longueurs.

triangle abc

Remarque :

On peut interpréter l’inégalité BC\leq\, AB+AC en remarquant que le chemin le plus court est toujours la ligne droite.

Propriété :

Un point A appartient au segment [BC] équivaut à BC=BA +AC.

Lorsqu’il y a égalité dans l’inégalité triangulaire, le triangle ABC est tout de même constructible et est un triangle plat.

2. Somme des mesures des angles d’un triangle

Exemple :

Dans le triangle ci-dessous, on sait que :

\widehat{GDF}=54^{\circ}  et  \widehat{GFD}=21^{\circ}.

La somme des mesures du triangle GDF est égale à 180°, donc :

\widehat{GDF}+\widehat{GFD}+\widehat{DGF}=180^{\circ}\\54^{\circ}+21^{\circ}+\widehat{DGF}=180^{\circ}\\75^{\circ}+\widehat{DGF}=180^{\circ}\\\widehat{DGF}=180^{\circ}-75^{\circ}\\\widehat{DGF}=105 ^{\circ}

II.Construction de triangles

1.Cas d’égalité de triangles

Définition :

Deux triangles sont dits isométriques (ou semblables) si leurs côtés sont deux à deux de même longueur.

Exemple :

Les triangles ABC, DEF, GIH et JKL sont isométriques.

Ils sont superposables par glissement et/ou par retournement.

Propriété :

Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure, deux à deux, alors ces deux triangles sont isométriques.

Exemple :

AB=DE.

Le côté [AB] est compris entre les angles \widehat{CAB} et \widehat{CBA}.

Le côté [DE] est compris entre les angles \widehat{FED} et \widehat{EDF}.

De plus, \widehat{CAB}=\widehat{FED} et \widehat{CBA}=\widehat{EDF}.

Donc les triangles ABC et EDF sont isométriques.

Propriété :

Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux cotés qui ont la même longueur alors ces deux triangles sont isométriques (ou semblables).

Exemple :

\widehat{CAB}=\widehat{FED}

L’angle \widehat{CAB}=\widehat{FED} est compris entre les côtés [AC] et [AB].

L’angle \widehat{CAB}=\widehat{FED} est compris entre les côtés [EF] et [ED].

De plus, AC=EF et AB=ED.

Donc les triangles ABC et DEF sont isométriques.

Propriété :

Deux triangles semblables (ou isométriques) ont des angles de même mesure et des aires égales.

Remarque :

Attention, la réciproque n’est pas forcément vraie.

  • Deux triangles peuvent avoir des angles de même mesure, deux à deux, sans pour autant être isométriques.
  • Deux triangles peuvent avoir la même aire sans pour autant être isométriques.

III.Les médiatrices d’un triangle

Propriété :

Les médiatrices d’un triangle ABC sont concourantes en un point O qui est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Remarque :

Le point O est équidistant des trois sommets A, B et C du triangle ABC.

IV.Les hauteurs d’un triangle

Propriété :

La hauteur d’un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire à son coté opposé.

Propriété :

Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H appelé l’orthocentre du triangle.

Propriété :

Dans un triangle ABC, les trois hauteurs sont concourantes en un point H appelé l’orthocentre du triangle ABC.

hauteurs d'un triangle


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